简答题

设（X，d）为度量空间，若存在常数α〉1，使得映射T：X→X满足：∈X且x≠y时有下列不等式成立：
d（Tx，Ty）≥αd（x，y）
则称该映射T为扩张映射。证明：
（1）上述定义的扩张映射T是单射。
（2）若（X，d）为完备度量空间，且扩张映射T：X→X是满射，则T在X中存在唯一的不动点。

设（X，d）是度量空间，∈X，定义ρ（x，y）=ln[1+d（x，y）]，证明：ρ（x，y）是X上的度量。 点击查看答案

设X=[0，1]∪{2，3，...，n，...}，其上的距离为d（x，y）=∣x-y∣，∈X。试问：（1）空间X是否为完备度量空间；（2）空间X是否为可分空间。 点击查看答案