问答题

求级数
的收敛域及和函数.

【参考答案】

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问答题

令，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’(c)=0，即f(c)=0．令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ2)=0．再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e-x[f (x)-f(x)]且e-x≠0，所以f (η)=f(η)．

问答题

因为f’+(a)＞0，所以存在C∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f(x0)=0．令φ(x)=f(x)f’(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)f (x)+f’2(x)，所以f(ξ)f (ξ)+f’2(ξ)=0．

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