问答题

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
1.若f(a)=0，f(b)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f"(ξ)+f’2(ξ)=0．

【参考答案】

令
，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’(c)=0，即f(c)=0．......

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问答题
因为f’+(a)＞0，所以存在C∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0，所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f(x0)=0． 令φ(x)=f(x)f’(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)f (x)+f’2(x)，所以f(ξ)f (ξ)+f’2(ξ)=0．
问答题
证明：当x＞0时，ex-1＞(1+x)ln(1+x)．
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