问答题

设f(x)在x 0 处n阶可导，且f (n) (x 0 )=0(m=1，2，…，n一1)，f (n) (x 0 )≠0(n＞2)，证明：当n为奇数时，(x 0 ，f(x 0 ))为拐点．

【参考答案】

正确答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限
当f(2k+1)(x0
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问答题
设f(x)在x0处n阶可导，且f(n)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，证明：(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时f(x)在x0处取得极大值；(2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时f(x)在x0处取得极小值．
问答题
设f(x)为[a，b]上的函数且满足则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f (x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：(i)∈[0，1]，f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1—λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；(iv)f(x)为(a，b)上的连续函数．
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