第二类曲面积分中如何区分曲面的侧？

【参考答案】

在第二类曲面积分中的曲面均为双侧曲面，一旦在曲面上任一个点处规定了法线方向，这个曲面的侧就确定了．
在计算第二类曲面积分时需要将曲面积分化为二重积分，二重积分前的“+”号和“-”号需根据曲面的侧来确定，我们知道取“+”号的是上侧、右侧、前侧，取“-”号的是下侧、左侧、后侧
应注意的是，已知条件给出曲面的侧，未必只是上述侧的一种，需根据曲面的函数表达式来区分：若用z=z(x，y)，(x，y)∈D_xy时，曲面需划分为上侧、下侧；若用x=x(y，z)，(y，z)∈D_yz时，曲面需划分为前、后侧；若用y=y(z，x)，(z，x)∈D_zx时，曲面需划分为左、右侧．因此，在计算
∫∫_SR(x,y,z)dxdy=±∫∫_DxyR(x,y,z(x,y))dxdy时，需根据已知条件来确定此时S是上侧还是下侧，或者是S的哪部分是上侧，哪部分是下侧，具体确定侧的方法是：根据已知条件指定的侧所对应的法线方向向量，看它在哪部分曲面上与z轴的夹角为锐角，在哪部分的夹角为钝角．夹角为锐角的部分为上侧，夹角为钝角的部分为下侧，显然，只要画出曲面S的立体图，上、下侧便一目了然了．其他的情形可类似判定．