问答题

设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n． 设ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ r 与η 1 ，η 2 ，…，η s 分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ r ，η 1 ，η 2 ，…，η s 线性无关．

【参考答案】

正确答案：因为r
=n，所以方程组
X=0只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有 非零的公共解，......

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问答题
证明r=n：
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正确答案：则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，Aβ1=Aβ2=…=Aβn=0A(β1，β2，…，βn)=BAT=Oα1T，α2T，…，αnT为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．
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