问答题

设A=E-ξξ^T，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．
证明：(Ⅰ)A²=A的充分必要条件是ξ^Tξ=1．
(Ⅱ)当ξ^Tξ=1时，A是不可逆矩阵．

【参考答案】

[证] (Ⅰ)由A²=(E-ξξ^T)(E-ξξ^T)=E......

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问答题

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)．记 (Ⅰ)证明曲线积分I与路径L无关； (Ⅱ)当ab=cd时，求I的值．

问答题

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

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