计算第二类曲线积分时如何使用对称性？

【参考答案】

第二类曲线积分具有方向性，其对称性的应用与不具有方向性的重积分、第一类曲线积分有着很大的不同，需慎用之．现给出几个主要结论，其余类推．
(1)若平面曲线L关于x轴对称且x轴上、下方的曲线方向相反，记L⁺=L∩{y≥0)，则求第二类曲线积分∫_LP(x，y)dx+Q(x，y)dy时，可以分以下几种情况．
若P(x，y)是y的偶函数，即P(x，-y)=P(x，y)，则∫_LP(x，y)dx=0；
若P(x，y)是y的奇函数，即P(x，-y)=-P(x，y)，则
∫_LP(x,y)dx=2∫_L⁺P(x,y)dx
若Q(x，y)是y的偶函数，即Q(x,-y)=Q(x，y)，则
∫_LQ(x,y)dx=2∫_L⁺Q(x,y)dx
若Q(x，y)是y的奇函数，即Q(x，-y)=-Q(x，y)，则∫_LQ(x，y)dy=0．
注 若平面曲线L关于x轴对称，且x轴上、下方的曲线方向相反，则在x轴上方有
ds={x'(t)，y'(t))dt=(dx，dy)，在x轴下方对称点处ds={x'(t)，-y'(t))(-dt)={-dx，dy)．也就是说，在对称点上dx变号，dy同号．因此，积分∫Pdx与重积分或第一类曲线积分的对称性质相异，而积分∫Qdy与重积分或第一类曲线积分的对称性质相同
若平面曲线L关于y轴对称且y轴左、右方的曲线方向相反，则在y轴右方ds=(dx，dy)，在y轴左方对称点处ds=-(dx，-dy)．
(2)若空间曲线L关于Oxy平面对称且Oxy平面上、下方的曲线方向相反，记L⁺=L∩{z≥0}，则求∫_LP(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz时，可以分以下几种情况．
若P(x，y，z)是z的偶函数，即P(x，y，-z)=P(x，y，z)，则∫_LPdx=0
若P(x，y，z)是z的奇函数，即P(x，y，-z)=-P(x，y，z)，则∫_LPdx=2∫_L⁺Pdx;
若Q(x，y，z)是z的偶函数，即Q(x，y，-z)=Q(x，y，z)，则∫_LQdy=0；
若Q(x，y，z)是z的奇函数，即Q(x，y，-z)=-Q(x，y，z)，则∫_LQdy=2∫_L⁺Qdy；
若R(x，y，z)是z的奇函数，即R(x，y，-z)=-R(x，y，z)，则∫_LRdz=0；
若R(x，y，z)是z的偶函数，即R(x，y，-z)=R(x，y，z)，则∫_LRdx=-2∫_L⁺Rdx
注 若空间曲线L关于Oxy平面对称且Oxy平面上、下方的曲线方向相反，则对称点处dx，dy变号，dz同号．
(3)若平面曲线L是轮换对称式曲线，即当x换作y，y换作x时，L方程不变(此时L关于y=x对称)，则∫_LP(x，y) dx+Q(x，y)dy=-∫_LP(y，x)dy+Q(y，x)dz．
注 若平面曲线L是轮换对称式曲线，即当x换作y，y换作x时，坐标系方向已不是右手系了，则积分变号．
(4)若空间曲线L是轮换对称式曲线．即当x换作y，y换作z，z换作x时，L方程不变，则
∫_LP(x, y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x，y，z)dz=∫_L,P(y，z,x)dy+Q(y,z,x)dz+R(y,z,x)dx=∫_LP(z,x,y)dz+Q(z,x,y)dx+R(z,x,y)dy
注 若空间曲线L是轮换对称式曲线，即当x换作y，y换作z，z换作x时，坐标系方向仍是右手系，则积分同号．