问答题

设f(x)在(-∞，+∞)上存在二阶导数，f(0)＜0，f’(0)=a，f"(x)＞0．
证明：
1.无论a＞0，a＜0，还是a=0，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；

【参考答案】

方法1 由(Ⅰ)已证，在区间(-∞，0)或(0，+∞)上正好有一个零点．所以若共有两个零点，则必反号．
方法2......

(↓↓↓ 点击下方‘点击查看答案’看完整答案 ↓↓↓)

<上一题目录下一题>

热门试题

问答题

求|z|在约束条件下的最大值与最小值．

问答题

若f(x)有三个或三个以上零点，则由罗尔定理知，f’(x)至少有两个零点．对f’(x)再用罗尔定理知，f (x)至少有一个零点．与题设f (x)无零点矛盾．以下证f(x)至少有一个零点．设f’(0)=a＞0，由泰勒公式：，当x≠0，取，有f(x)＞0．由介值定理知，在区间(0，+∞)上f(x)至少有一个零点．又因当x＞0时f’(x)＞f’(0)＞0，故在区间(0，+∞)上至多有一个零点，故正好有一个零点．设f’(0)=a＜0，类似可证在区间(-∞，0)上正好有一个零点．设f’(0)=a=0，由连续函数保号性及f’(x)严格单增知，存在δ＞0，当x∈[0，δ]时f(x)＜0且f’(δ)＞0．在点x=δ处用泰勒公式，有＞f(δ)+f’(δ)(x-δ)，当x＞δ．取，有f(x)＞0．由介值定理知，在区间(δ，+∞)上f(x)至少有一个零点．又因当x＞0时，f’(x)＞f’(0)=0．故在区间(0，+∞)上至多有一个零点．故正好有一个零点．同理可证，此时在区间(-∞，0)上也正好有一个零点．故总之，不论f’(0)=a＞0，＜0，=0，f(x)在(-∞，+∞)上至少有一个零点．证毕．

相关试题