单项选择题

下列命题正确的是( )

A.若函数f(x)在x=a处连续,则函数f(x)在x=a的邻域内连续
B.若函数f(x)在x=a处可导,则函数f(x)在x=a的邻域内可导
C.若函数f(x)处处可导,则其导函数处处连续
D.若函数f(x)在x=a处连续,在其去心邻域内可导,且存在,则f(x)在x=a处可导