问答题

设f(x)为连续函数，
．试证明：
1.F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反．

【参考答案】

设f(x)具有周期T，记
，考察

所以F(x)以T为周期的充要条件是

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问答题

因A有n个互不相同的非零特征值，|A|=n!≠0，故A可逆，从而有 |λE-AB|=|A(λA-1-B)|=|A||λE-BA||A-1|=|λE-BA| 即AB和BA有相同的特征多项式，故有相同的特征值．又若取可逆阵P=A，则有 P-1ABP=A-1ABA=BA，故有AB～BA．

问答题

因α1，α2，β1，β2均是三维向量，四个三维向量必线性相关，由定义，存在不全为零的数k1，k2，λ1，λ2，使得 k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，得 k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2．取 ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2，若ξ=0，则k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2=0．因α1，α2线性无关，β1，β2也线性无关，从而得出k1=k2=0，且λ1=λ2=0，这和四个三维向量线性相关矛盾．ξ即为所求的既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的非零向量．故ξ≠0．

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