问答题
试题四 （共15 分 ）
阅读下列说明，回答问题1和问题2，将解答填入答题纸的对应栏内。
【说明】
现需在某城市中选择一个社区建一个大型超市，使该城市的其它社区到该超市的距离总和最小。用图模型表示该城市的地图，其中顶点表示社区，边表示社区间的路线，边上的权重表示该路线的长度。
现设计一个算法来找到该大型超市的最佳位置：即在给定图中选择一个顶点，使该顶点到其它各顶点的最短路径之和最小。算法首先需要求出每个顶点到其它任一顶点的最短路径，即需要计算任意两个顶点之间的最短路径；然后对每个顶点，计算其它各顶点到该顶点的最短路径之和；最后，选择最短路径之和最小的顶点作为建大型超市的最佳位置。
【问题 1】（12 分）
本题采用Floyd-Warshall算法求解任意两个顶点之间的最短路径。 已知图G的顶点集合为V= {1,2,...,n } ，W= ｛Wij｝n*n 为权重矩阵。设 d (k)ij=为从顶点i到顶点j的一条最短路径的权重。当k = 0时，不存在中间顶点，因此d(0)ij=wij
当k >0 时，该最短路径上所有的中间顶点均属于集合 {1,2, ..., k｝若中间顶点包括顶点 k ，则d(k)ij=d(k-1)ik+d(k-1)kj若中间顶点不包括顶点k ，则d(k-1)ij=d(k-1)ij
于是得到如下递归式。
因为对于任意路径，所有的中间顶点都在集合{1,2, ..., n｝ 内，因此矩阵D(n) =｛d(n)ij｝n*n 给出了任意两个顶点之间的最短路径，即对所有i, j ∈V,d(n)ij表示顶点i到顶点 j的最短路径。
下面是求解该问题的伪代码，请填充其中空缺的 (1)至(6)处。 伪代码中的主要变量说明如下：
W：权重矩阵
n： 图的顶点个数
SP：最短路径权重之和数组，SP[i]表示顶点i到其它各顶点的最短路径权重之和，i从1到n
min_SP：最小的最短路径权重之和
min_v：具有最小的最短路径权重之和的顶点
i：循环控制变量
j：循环控制变量
k：循环控制变量
LOCATE -SHOPPINGMALL(W, n)
1 D(0)=W
2 for （1）
3 for i = 1 to n
4 for j = 1 to n
5 if d(k-1)ij≤≤d(k-1)ik+d(k-1)kj
6 （2）
7 else
8 （3）
9 for i = 1 to n
10 SP[i] = 0
11 for j = 1 to n
12 （4）
13 min_SP = SP[1]
14 （5）
15 for i = 2 to n
16 if min_SP > SP[i]
17 min_SP = SP[i]
18 min_v = i
19 return （6）
【参考答案】
